Exercícios de pavimentação

A partir de uma malha simples, elaborada pela repetição de um polígono, fiz alterações recorrendo à compensação de partes a partir da translação e rotação ou da combinação destes dois tipos de transformação geométrica.

Obter estas transformações recorrendo ao desenho manual torna-se complicado fazer com alunos do 1º e 2º cíclos. No entanto, é possível fazê-las de forma mais eficaz através do site https://www.geogebra.org 

Pessoalmente e talvez por ser professora de expressão plástica, julgo ser mais apropriado para estes alunos transformar polígonos através do corte e colagem das partes de maneira a manter a mesma área. 

Experiência realizada com alunos do 4º ano do 1º cíclo

- Apresentei um filme demostrativo de como transformar os polígonos obedecendo às caractrísticas de transformação e pavimentação de Escher.

- Entreguei algumas cartolinas e folhas de cartão pintadas.

- Deixei os alunos experienciarem livremente.

Conclui que nem todos os alunos conseguem por em prática este exercício de forma autónoma. Contudo, se devidamente orientados pelo professor é possível desenvolverem atividades de pavimentação no plano a partir da obtenção de um módulo (polígono transformado).

Este deve ser contornado diversas vezes sobre cartolina e, posteriormente, feitos os recortes de maneira a obter várias peças/ módulos com a mesma forma.

Colocando o exercício em forma de desafio/ jogo, pede-se aos alunos que tentem juntar as “peças” de maneira a ficarem encaixadas umas nas outras sem deixar espaços vazios entre elas, obtendo assim uma composição.

Este pode ser o ponto de partida para uma série de questões que vão de encontro aos conteúdos de Matemática e/ou Expressão Plástica.

O grau de dificuldade deste exercício varia com a complexidade da forma e com a quantidade de cores selecionadas, devendo este ser adaptado ao nível de desenvolvimento dos alunos.

Alguns filmes de apoio para a implementação deste tipo de atividades.

ESCHER e a Divisão Regular do Plano

pavimentações - metamorfoses

Foi numa visita a Alhambra, em Espanha, que Escher conheceu e se encantou pelos mosaicos de construção árabe (estilo mudéjar). Achou interessantes as formas e principalmente, como as figuras se interlaçavam entre si e se repetiam formando padrões geométricos.

Esse foi o ponto de partida para alguns dos seus trabalhos mais conhecidos.

A partir de uma malha de polígonos regulares, Escher faz alterações sem mudar a área desse polígono original.

Escher utilizou 4 tipos de transformações geométricas que são: translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes.

Com a intenção de dar vida aos pavimentos passou a desenhar pássaros, peixes e outras figuras dentro dos polígonos.

Com a utilização do degradé de cores e das sombras conseguiu criar alguns pavimentos surpreendentes, os quais chamamos de metamorfoses. Aqui uma figura, gradualmente, vai-se transformando noutra.

Dois vídeos que fundamentam a obra de Escher

Escher

Mauris Cornelis Escher (1898 – 1972)

Escher foi um artista plástico holandês e autor de um estilo muito peculiar, representando o impossível, o infinito e metamorfoses através da ilusão de ótica e sem se afastar das regras da geometria e da perspetiva do desenho. Foi o artista que melhor aplicou conceitos matemáticos como suporte das suas obras.

Observar com “olhos de ver” a obra deste artista é uma experiência inesquecível. Dedicou-se ao desenho, à litografia e à xilogravura e para entender a complexidade da sua obra deve-se dividi-la em 4 categorias:

1ª Divisão regular do plano (pavimentações e metamorfoses);

2ª O formato do plano (espaços não euclidianos e topologia);

3ª A lógica no plano (ilusões de ótica e impossíveis);

4ª Divisão regular do espaço (sólidos platónicos).

http://www.artperceptions.com/2010/02/m-c-escher.html

Cor e Raciocínio - Trabalho Exploratório

Fazendo uma fusão entre a arte e a matemática e recorrendo à cor para desenvolver o raciocínio para operações lógicas utilizei como base do meu trabalho os Quadrados Latinos.

Estes obedecem a 2 regras simples:

1ª- Não se pode repetir o mesmo número em linha horizontal ou vertical;

2ª- Quando existirem subquadados, nos mesmos não se podem repetir nenhum número.

Nota: Estas também foram as regras que apliquei na minha transformação numérica para cromática.

Comecei por experienciar a partir de um quadrado latino de 9 números. Este subdivide-se em outos 9 quadrados, o que dá um total de 81 quadrados isolados. Selecionei uma das teorias dos 7 contrastes cromáticos enunciados por Johannes Itten, a gradação da cor. Selecionei, também, a cor primária azul ciano como ponto de referência em todo o meu trabalho e pretendi que toda a experiência pudesse ser replicada para qualquer uma das outras cores primárias.

Previamente, pintei em 9 folhas, preparadas com a quadrícula necessária, 9 tonalidades de azul onde gradualmente adicionei o cinzento.

Fiz corresponder, ordenadamente, cada tonalidade a um número, obtendo assim 9 tonalidades de quadrados que variaram entre o azul ciano e o cinzento.

Tendo como suporte do trabalho uma tela, desenhei uma grelha quadriculada de 9 x 9 quadrados e nela inscrevi um quadrado latino.

Comecei a compor, inicialmente, pelo número 1 e fazendo-lhe corresponder o azul ciano. Preenchi todos os quadrados correspondentes a esse número. De seguida, o número 2, onde com a tonalidade de azul que tinha a menor quantidade de cinzento fiz a correspondência para todos os quadrados. Posteriormente, o número 3. Aqui recorri à segunda tonalidade de azul com algum cinzento. E assim sucessivamente, cortei e colei quadrado após quadrado pintados de forma correspondente a cada número.

Exemplo:

1-    Azul ciano

2-    Azul ciano + cinzento

3-    Azul ciano + cinzento + cinzento

4-    Azul ciano + cinzento + cinzento + cinzento (…)

Resultados:

Ø  Percebi que com todas as composições realizadas desta forma, a partir de quadrados latinos, obtém-se equilíbrio visual e estético.

Ø  Com 9 cores/ 9 números é difícil, tecnicamente, realiza-los com alunos do ensino básico, visto que para obter tantas tonalidades da mesma cor é necessário um domínio técnico que os alunos ainda não atingiram.

Ø  A partir dos quadros latinos com número ímpar e de uma cor primária (azul ciano) foi possível foi possível trabalhar a gradação dessa mesma cor até atingir as suas cores secundárias, ou seja, se o azul ciano corresponder ao número 5 e lhe for acrescentado magenta gradualmente obtêm-se tonalidades até ao violeta (este corresponde ao número 1 do quadrado latino) e se ao azul ciano também for adicionado gradualmente amarelo encontraremos o verde secundário que corresponderá ao número 9. Todos os outros números serão correspondentes às tonalidades intermédias da composição.

Depois de ter concluído com a primeira experiência que o resultado estético era interessante quis ir mais além e entendi que com a colagem parcial das peças/quadrados se podia explorar algum volume, alguma textura e até a luz/sombra, enrolando o limite dos quadrados e deixando toda a cor contrastar sobre o fundo branco.

Pegando na ideia dos dois trabalhos que obedeciam a uma abordagem artística, pretendi fazer uma exploração pedagógica e/ou didática.

Voltei à gradação da cor azul com o cinzento em formato mais pequeno, ou seja, recorri a quadrados latinos de 6 e 5 números para perceber se eram exequíveis pelos alunos do 2º ciclo do ensino básico.

Percebi que para estes alunos o que me interessa explorar são os quadrados latinos de 4 e 5 números, porque se torna possível serem os alunos a construí-los e a fazerem as suas explorações cromáticas, misturando as tintas para obter as tonalidades e as cores pretendidas, e a partir destas poderem realizar também explorações numéricas.

Então, continuei a explorar, agora a partir de um quadrado latino de 5 números e indo, mais uma vez, de encontro à ideia do azul primário e as duas cores secundárias que o mesmo integra, correspondendo, neste caso, o azul ciano ao número 3 e tendo no limite o violeta (nº1) e o verde (nº5). Os números 2 e 4 são tonalidades intermédias.

Este exercício tem a mesma quantidade de tonalidades que o círculo cromático simples para cada cor primária. Assim sendo, torna-se exequível realizar este exercício com os alunos. 

De forma a tornar este exercício mais explorável em sala de aula, utilizei dois quadrados latinos de quatro números. Nestes apliquei, somente, as tonalidades intermédias e as cores secundárias de azul ciano que nunca aparece mas está implícito nos dois exercícios.

A partir destes exercícios podem ser formuladas várias perguntas efetuadas pelos alunos ou orientadas pelo professor, levando a uma reflexão e desenvolvimento da sensibilidade estética e para a observação da mistura das cores, tais como:

- Qual a cor que falta?

- A partir de que cor estas misturas de cor foram feitas?

- Quais as tonalidades que mais se afastam da cor primária? Porquê?

- Quais ou qual a cor que foi adicionada ao azul ciano para a obtenção do violeta? E do verde?

Muito mais se podia perguntar e refletir sobre estes exercícios que podem ser apresentados individualmente ou em conjunto.

Para concluir a minha pesquisa resolvi introduzir a cor complementar (cor-de-laranja) do azul ciano. Voltando às composições com propósito artístico e recorrendo novamente, à gradação da cor entre o azul primário e o cinzento fiz uma composição visual de forma a explorar a textura e o volume, tal como já tinha realizado na minha segunda tela. Introduzi mais duas variantes que foram pintar o lado de traz dos quadrados e pintar a tela de cor-de-laranja e fazer corresponder os quadrados coloridos a um quadrado latino de 7 números.

Mais um produto/composição que considero muito apelativo nesta junção entre o raciocínio lógico e as cores das artes plásticas.

Cor e Raciocínio - Mapas de cores

 Foram fornecidos mapas para colorir e solicitado que o fizesse obedecendo a 2 critérios:

1º Zonas separadas por linhas não podem ser pintadas da mesma cor;

2º Só se podem utilizar 4 cores diferentes.

Questão: Será que 4 cores chegam sempre para qualquer mapa?

Desenvolvi os exercícios e concluí que para estes mapas apresentados, as 4 cores chegam sempre, mesmo quando o grau de complexidade dos mesmos aumenta.

Nota: Posteriormente, apliquei em sala de aula o exercício mais simples a alunos dos 2º e 5º anos do ensino básico e percebi que de uma forma geral os alunos eram capazes de fazer, no entanto o “desafio” colocado aos alunos foi melhor recebido pelos mais novos.

Cor e Raciocínio

O raciocínio e as várias formas de o representar são próprias do conhecimento matemático. Uma das formas de raciocínio significativas e simultaneamente simples é associar à cor o raciocínio combinatório. Esta associação é o principal elo de articulação entre a cor e o raciocínio.

 Foi-me apresentado um conjunto de objetos constituídos por 2 círculos de tamanhos diferentes e que eram sobrepostos e concêntricos, com repetição de cores no seu conjunto, embora nenhum objeto/peça seja repetido, porque não existia repetição de cor entre as duas partes do mesmo objeto.

Proposta:

Organizar todos os objetos numa disposição retangular, onde tem que existir uma organização compreensível, relativamente, a cada uma das posições das cores.

Deve ser possível compreender e generalizar esta composição.

Conclusões:

Ø  O número de objetos não interessa para a dificuldade da organização. A dificuldade está no raciocínio lógico que está inerente à organização.

Ø  É possível organizar os círculos com a mesma cor exterior em linha e fazer uma sequência em relação à cor interior.

Ø  Após escolhida a sequência das cores interiores do círculo, tem que se obedecer a essa mesma sequencia e para cada linha é necessário avançar uma posição de forma a obter oblíquas da mesma cor interior em toda a composição.

Nota: Da mesma maneira os objetos/peças devem obedecer à regra ao nível das cores, mas a sua forma é pouco importante para a realização deste exercício. As peças podem ser bi ou tridimensionais e ganhar materiais e formas diferentes.